Число, значение которого определяется случайным исходом. Распределение описывает, какие значения ξ принимает и насколько они вероятны.

Полное описание вероятностного поведения случайной величины. Зная распределение, можно вычислять вероятности событий, моменты и квантили.

Накопленная вероятность к точке x: насколько вероятно получить значение левее x.В курсе: Fξ(x)=P(ξ<x).

Для непрерывной величины – локальная концентрация вероятности около x. Сама высота плотности не является вероятностью; вероятность – это площадь под графиком на интервале.

Для дискретной величины – непосредственно P(ξ=x), то есть вероятность ровно одного конкретного значения.

Множество значений, которые случайная величина вообще может принимать. Например, у экспоненциального распределения это x≥0, у нормального – вся ℝ.

Граница, левее которой находится заданная доля распределения. Медиана – частный случай: квантиль уровня 0,5.

Вероятностный «центр масс» распределения. Если многократно повторять эксперимент и усреднять ξ, среднее обычно стремится к Eξ – когда ожидание существует.

Точка, делящая вероятность примерно пополам. В отличие от среднего, гораздо слабее реагирует на очень далёкие значения и тяжёлые хвосты.

Наиболее вероятное значение у дискретного распределения или точка максимальной плотности у непрерывного.

Средний квадрат отклонения от математического ожидания. Большие ошибки получают особенно большой вес из-за возведения в квадрат.Var(ξ)=E[(ξ−Eξ)²].

Корень из дисперсии. Измеряет типичный масштаб разброса и имеет те же единицы измерения, что и сама ξ.σξ=√Var(ξ).

Числовая характеристика формы распределения. Начальный момент порядка r – Eξʳ; центральный – E[(ξ−Eξ)ʳ]. Первый начальный момент – математическое ожидание, второй центральный – дисперсия, третий центральный отражает направление асимметрии, четвёртый – степень концентрации массы и выраженность хвостов.

Хвост распределения настолько тяжёлый, что соответствующее среднее степеней не сходится. Это не означает, что распределение «сломано»: например, у Коши корректно существуют медиана и мода, но не Eξ и Var(ξ).

Область очень больших по модулю значений, далёких от основной массы распределения. Хвост определяет вероятность экстремальных наблюдений.

Вероятность очень больших значений убывает относительно медленно. Поэтому экстремальные наблюдения встречаются существенно чаще, чем, например, при нормальном распределении. У степенных хвостов некоторые моменты могут не существовать.

Хвост примерно убывает как x^−α, а не экспоненциально. Параметр α определяет тяжесть хвоста: чем меньше α, тем хвост тяжелее.

Вероятность больших значений убывает примерно как e^−cx. Это значительно быстрее степенного убывания.

Левая и правая стороны распределения зеркальны относительно некоторого центра. У симметричного одномодального распределения среднее, медиана и мода часто совпадают.

Третий центральный момент μ₃=E[(ξ−Eξ)³] показывает направление асимметрии: положительный μ₃ соответствует более длинному правому хвосту, отрицательный – левому. Обычно сравнивают распределения по безразмерному коэффициенту асимметрии.γ₁ = μ₃ / σ³. При симметрии γ₁=0, хотя обратное не всегда верно.

Четвёртый центральный момент μ₄=E[(ξ−Eξ)⁴] сильно реагирует на большие отклонения от среднего и поэтому связан с концентрацией массы и тяжестью хвостов. Стандартизованный четвёртый момент называется коэффициентом куртозиса, а эксцесс сравнивает его с нормальным распределением.γ₂ = μ₄ / σ⁴ − 3. Для нормального распределения γ₂=0; положительный эксцесс обычно означает более выраженные хвосты и больше экстремальных наблюдений.

Сдвигает распределение по оси x, почти не меняя его форму. Примеры: μ у нормального, x₀ у Коши.

Растягивает или сжимает распределение по оси x. Это не всегда стандартное отклонение: например, γ у Коши – параметр масштаба, хотя дисперсия Коши не существует.

Меняет не просто размер или положение, а качественную форму распределения. У Фреше α определяет тяжесть хвоста и то, какие моменты существуют.

Средняя частота событий на единицу времени/пространства. У Пуассона λ – среднее число событий; у экспоненциального λ задаёт скорость наступления события.

Если событие ещё не произошло, уже прошедшее ожидание не меняет распределение оставшегося времени. Этим свойством обладают экспоненциальное и геометрическое распределения.

После определённой операции результат остаётся в том же семействе распределений. Например, сумма независимых нормальных снова нормальна, а максимум Фреше с общим α снова имеет распределение Фреше.

Переход от ξ к cξ. Для некоторых семейств это просто изменяет параметр масштаба и сохраняет форму распределения.

Каждое событие независимо оставляют с вероятностью p. Если исходное число событий пуассоновское с интенсивностью λ, после прореживания остаётся Пуассон с интенсивностью pλ.

Продолжение факториала на нецелые значения: Γ(n)=(n−1)! для натуральных n. Возникает во многих формулах моментов, в частности у распределения Фреше.